小学数学教师招聘试题及答案
一、选择题（共14个小题，每小题4分，共56分．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的）
1．－5的绝对值是（ ）．
A．5 B． C． D．－5
2．计算 的结果是（ ）．
A．－9 B．－6 C． D．
3．计算 的结果是（ ）．
A． B．a C． D．
4．2002年我国发现首个世界级大气田，储量达6000亿立方米，6000亿立方米用科学记数法表示为（ ）．
A． 亿立方米 B． 亿立方米
C． 亿立方米 D． 亿立方米
5．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）．
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形
6．如果两圆的半径分别为3 cm和5 cm，圆心距为10 cm，那么这两个圆的公切线共有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．如果反比例函数 的图象经过点P（－2，3），那么k的值是（ ）．
A．－6 B． C． D．6
8．在△ABC中，∠C＝90°．如果 ，那么sinB的值等于（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上．如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于（ ）．
A．55° B．90° C．110° D．120°
10．如果圆柱的底面半径为4 cm，母线长为5 cm，那么它的侧面积等于（ ）．
A．20p B．40p C．20 D．40
11．如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）．
A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1
12．在抗击“非典”时期的“课堂在线”学习活动中，李老师从5月8日至5月14日在网上答题个数的记录如下表：
日期
5月8日
5月9日
5月10日
5月11日
5月12日
5月13日
5月14日
答题个数
68
55
50
56
54
48
68
在李老师每天的答题个数所组成的这组数据中，众数和中位数依次是（ ）．
A．68，55 B．55，68 C．68，57 D．55，57
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E．如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
14．三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间．假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h（米）随时间t（天）变化的是（ ）．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
15．在函数 中，自变量x的取值范围是________．
16．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC．如果BC＝8 cm，AD∶AB＝1∶4，那么△ADE的周长等于________ cm．
17．如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是________米．
18．观察下列顺序排列的等式：
9×0＋1＝1，
9×1＋2＝11，
9×2＋3＝21，
9×3＋4＝31，
9×4＋5＝41，
……
猜想：第n个等式（n为正整数）应为________．
三、（共3个小题，共14分）
19．（本小题满分4分）
分解因式： ．
20．（本小题满分4分）
计算：
21．（本小题满分6分）
用换元法解方程
四、（本题满分5分）
22．如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连结________．
（2）猜想：________＝________．
（3）证明：
五、（本题满分6分）
23．列方程或方程组解应用题：
在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆．”
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆．”
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍．”
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少．
六、（本题满分7分）
24．已知：关于x的方程 的两个实数根是 、 ，且 ．如果关于x的另一个方程 的两个实数根都在 和 之间，求m的值．
七、（本题满分8分）
25．已知：在ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE∶FD＝4∶3．
（1）求证：AF＝DF；
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD＝10，求△ABC的面积．
八、（本题满分8分）
26．已知：抛物线 与x轴的一个交点为A（－1，0）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共56分）
1．A 2．D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9．C 10．B 11．C 12．A 13．A 14．B
二、填空题（每小题4分，共16分）
15．x≥－3 16．6 17．30 18．9（n－1）＋n＝10n－9（或9（n－1）＋n＝10（n－1）＋1）
三、（共14分）
19．解：
…………………………………………………………………2分
………………………………………………………4分
20．解：
………………………………………………………… …3分
= ．…………………………………………………………………………4分
21．解：设 ，…………………………………………………………………1分
则原方程化为 ．………………………………………………………2分
∴ ．
解得 ， ……………………………………………………………3分
当y＝－2时， ．
∴ ．
解得 ， ．…………………………………………………………………4分
当y＝－3时， ．
∴
∵ △＝9－12＜0，
∴ 此方程无实数根．………………………………………………………………5分
经检验， ， 都是原方程的根．…………………………………………6分
∴ 原方程的根为 ， ．
四、（本题满分5分）
22．答案一：（1）BF……………………………………………………………………1分
（2）BF，DE……………………………………………………………………………2分
（3）证法一：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD＝BC，AD∥BC．
∴ ∠DAE＝∠BCF．……………………………………………………………………3分
在△BCF和△DAE中，
∴ △BCF≌△DAE．……………………………………………4分
∴ BF＝DE．……………………………………………………………………………5分
证法二：连结DB、DF，设DB、AC交于点O．
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AO＝OC，DO＝OB．
∵ AE＝FC，∴ AO－AE＝OC－FC．
∴ EO＝OF．……………………………………………………………………………3分
∴ 四边形EBFD为平行四边形．………………………………………………………4分
∴ BF＝DE．……………………………………………………………………………5分
答案二：（1）DF…………………………………………………………………………1分
（2）DF，BE……………………………………………………………………………2分
（3）证明：略（参照答案一给分）．
五、（本题满分6分）
23．解法一：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，…………………………1分
则高峰时段四环路的车流量为每小时（x＋2000）辆．………………………………2分
根据题意，得3x－（x＋2000）＝2×10000．…………………………………………4分
解这个方程，得 x＝11000． …………………………………………………………5分
x＋2000＝13000．
答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆．
…………………………………………………………………………………………………6分
解法二：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，四环路的车流量为每小时y辆．
…………………………………………………………………………………………………1分
根据题意，得
……………………………………………………………………4分
解这个方程组，得
……………………………………………………………………………5分
答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆．
…………………………………………………………………………………………………6分
六、（本题满分7分）
24．解：∵ ， 是方程 ①的两个实数根，
∴ ， ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
解得 ， ………………………………………………………………3分
（ⅰ）当m＝－1时，
方程①为 ．∴ ， ．
方程 ②为 ．
∴ ， ．
∵ －5、3不在－3和1之间，
∴ m＝－1不合题意，舍去．…………………………………………………………5分
（ⅱ）当m＝4时，
方程①为 ．∴ ， ．
方程②为 ．∴ ， ．
∵ 2＜3＜5＜6，即 ，
∴ 方程②的两根都在方程①的两根之间．
∵ m＝4．………………………………………………………………………………7分
综合（ⅰ）（ⅱ），m＝4．
注：利用数形结合解此题正确的，参照上述评分标准给分．
七、（本题满分8分）
25．解法一：
（1）证明：∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD＝∠DAC．
∵ ∠B＝∠CAE，
∴ ∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE．
∵ ∠ADE＝∠BAD＋∠B，∴ ∠ADE＝∠DAE．
∴ EA＝ED．
∵ DE是半圆C的直径，∴ ∠DFE＝90°．
∴ AF＝DF．……………………………………………………………………………2分
（2）解：连结DM．
∵ DE是半圆C的直径，
∴ ∠DME＝90°．
∵ FE∶FD＝4∶3，
∴ 可设FE＝4x，则FD＝3x．
由勾股定理，得DE＝5x.
∴ AE＝DE＝5x，AF＝FD＝3x．
由切割线定理的推论，得AF·AD＝AM·AE．
∴ 3x（3x＋3x）＝AM·5x．∴ ．
∴ ．
在Rt△DME中，
．………………………………………………………5分
（3）解：过A点作AN⊥BE于N．
由 ，得 ．
∴ ．
在△CAE和△ABE中，
∵ ∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA，
∴ △CAE∽△ABE．∴ ．
∴ ．
∴ ．解得x＝2．
∴ ，
．
∴ ．…………………………………………8分
解法二：
（1）证明：同解法一（1）．
（2）解：过A点作AN⊥BE于N．
在Rt△DFE中，
∵ FE∶FD＝4∶3，∴ 可设FE＝4x，则FD＝3x．
由勾股定理，得DE＝5x．
∴ AE＝DE＝5x，AF＝FD＝3x．
∵ ，
∴ ．
∴ ．∴
∴ 由勾股定理，得 ．
∴ ．…………………………………………………5分
（3）解：在△CAE和△ABE中，
∴ ∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA，
∴ △CAE∽△ABE．∴ ．
∴ ∴ ．
解得x＝2．∴ ，
．
∴ ．…………………………………………8分
八、（本题满分8分）
26．解法一：
（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．
∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），
∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．
…………………………………………………………………………………………………2分
（2）∵ 抛物线 与x轴的一个交点为A（－1，0），
∴ ．∴ t＝3a．
∴ ．
∴ D（0，3a）．
∴ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线 上，
∵ C（－4，3a）．
∴ AB＝2，CD＝4．
∵ 梯形ABCD的面积为9，
∴ ．
∴ ．
∴ a±1．
∴ 所求抛物线的解析式为 或 …………………5分
（3） 设点E坐标为（ ， ）
依题意， ， ，且 ．∴ ．
①设点E在抛物线 上，
∴ ．
解方程组 得
∵ 点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，
∴ 点E坐标为（ ， ）．
设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．
∵ AE长为定值，
∴ 要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．
∴ 点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），
∴ 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．
设过点E、B的直线的解析式为 ，
∴ 解得
∴ 直线BE的解析式为 ．
∴ 把x＝－2代入上式，得 ．
∴ 点P坐标为（－2， ）．
②设点E在抛物线 上，
∴ ．
解方程组
消去 ，得 ．
∴ △＜0
∴ 此方程无实数根．
综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2， ），使△APE的周长最小．…………8分
解法二：
（1）∵ 抛物线 与x轴的一个交点为A（－1，0），
∴ ．∴ t＝3a．
∴ ．
令 y＝0，即 ．
解得 ， ．
∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）． 2分
（2）由 ，得D（0，3a）．
∵ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线 上，
∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．
∵ 梯形ABCD的面积为9，
∴ ．
解得OD＝3．
∴ ．∴ a±1．
∴ 所求抛物线的解析式为 或 ．…………………5分
（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．
∴ 如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．
设对称轴与x轴的交点为F．
由PF∥EQ，可得 ．
∴ ．∴ ．
∴ 点P坐标为（－2， ）．